Анзор Эркомаишвили родился 10 августа 1940 года в Батуми. Его дед был певцом-самоучкой. Именно по его совету Анзор получил высшее музыкальное образование, поступил в культурно-просветительскую школу, а затем – в Тбилисскую государственную консерваторию, которую окончил в 1969 году.
«По моему глубокому убеждению, человек должен служить тому делу, на которое он способен. Моя фамилия имеет 300-летнюю историю – это музыкальная фамилия, и музыка определила наше направление. Примером для меня был мой дед Артем Эркомаишвили и мой предок Гиго Эркомаишвили, которые пожертвовали всем ради музыки, приспособили свою жизнь к музыке».
Еще будучи студентом, он увлекся гурийскими народными песнями. Для их изучения в консерватории Эркомаишвили основал вокальный ансамбль «Гордела».
«Я пришел на арену в то время, когда народные песни были менее популярны. Не потому, что людям это не нравилось. Старые люди по-прежнему хорошо пели, но в тяжелый период коммунистической идеологии дети и молодежь реже разучивали народные песни. Тогда были в моде олимпиады и фальшивые песни о партии, правительстве, Ленине, Сталине – на этих песнях росли поколения. Я чувствовал, что это неправильно».
В последний год обучения в Тбилисской консерватории Эркомаишвили создает вокальный ансамбль «Рустави». Академический ансамбль песни и танца с момента своего основания стал лидирующим коллективом Грузии.
За свою 53-летнюю историю ансамбль не только гастролировал по Грузии, но и давал концерты за рубежом. Каждый исполнитель владел искусством грузинского многоголосия и как солист, и как участник хора. Для этого в ансамбле многие годы существовала профессиональная команда мастеров вокальной импровизации. В репертуар «Рустави» входили мелодии разных регионов Грузии с уникальным, характерным только для них звучанием. В репертуаре ансамбля были включены как древнейшие народные песни, так и церковные песнопения.
«За время существования ансамбля мы проделали огромную работу по восстановлению и популяризации грузинских народных песен. Мы спели грузинские песни более чем в 80 странах мира, записано и выпущено более 900 песен. Но самое главное, я думаю, сегодня молодежь любит народное пение. Это была моя самая большая цель, и мы ее достигли».
Эркомаишвили был уверен: когда народные песни полюбит молодое поколе, можно считать, что они не исчезнут. Поэтому в 70-е годы, когда «Рустави» уже был выдающимся ансамблем, он решил создать детский коллектив.
«Народная песня в то время вообще не пользовалась популярностью, особенно среди детей. Это была и моя цель, и мой долг, и мое огромное желание, чтобы дети учились и влюблялись в народное пение. Я хотел, чтобы молодежь пела, потому что, по моему глубокому убеждению, если вы хотите сохранить народную песню, вы должны научить ее детей».
А в 1972 году Эркомаишвили стал директором музыкальной школы «Рустави». В том же году он издал 7 записанных и расшифрованных им грузинских (гурийских) народных песен. Помимо этого, фольклорист подготовил к изданию сборник «Гурийские народные песни».
Он приглашал известных певцов из разных уголков страны, чтобы записать более 100 народных песен. Все голоса записывались на кассеты вместе, а также каждый по-отдельности, где четко прослеживалась индивидуальная манера исполнения.
Гия Канчели однажды сказал: «Анзор Эркомаишвили был, есть и остается патриархом в своем деле».
В 1980 году Эркомаишвили получил звание народного артиста Грузии.
В 2001 году по его инициативе и при поддержке ЮНЕСКО был создан Международный центр грузинской народной песни, подготовлена и издана часть Антологии ХХ века (1901-2001), в которую вошли лучшие произведения.
В 2009 году Анзор Эркомаишвили возглавил Национальный фольклорный центр, а в 2014-м ему присвоили звание Почетного горожанина Тбилиси.
Эркомаишвили как-то сказал: «Если у вас есть достойный продолжатель вашего дела, не бойтесь смерти». Позже музыкант признался, что эту мудрость он позаимствовал у своего деда.
«Когда мой дед умирал, он сказал мне: «Если мои дети будут продолжать заниматься моей работой – хорошо это или плохо, я не буду судить – то я проживу долго».
В августе 2020 года Эркомаишвили отпраздновал свой 80-летний юбилей. Тогда же президент Грузии Саломе Зурабишвили наградила артиста Орденом Сияния.
В одном из своих последних интервью Эркомаишвили сказал: «Я потратил большую часть своей жизни зря, я мог бы сделать больше».